Producto de caminos

Sean $α$ un camino que une $x_{0}$ con $x_{1}$ , y $β$ un camino que une $x_{1}$ con $x_{2}$ . Definimos el producto de caminos $α * β : I \to X$ como:

(α * β) (s) = {\begin{cases} α (2 s), & s \in [0, \frac{1}{2}] \\ β (2 s - 1), & s \in [\frac{1}{2}, 1] \end{cases}

Intuición

El producto de caminos es como una concatenación. Primero, se recorre el camino $α$ ; tras llegar al final de este (cuando $t = \frac{1}{2}$ ), se comienza el segundo camino $β$ .

Propiedades

$α * (β * γ) ≃_{p} (α * β) * γ$ .
Si $ϵ_{x_{0}}$ es el arco constante $x_{0}$ , ídem con $ϵ_{x_{1}}$ , entonces

ϵ_{x_{0}} * α ≃_{p} α y α * ϵ_{x_{1}} ≃_{p} α .

Sea $\bar{α} (t) := α (1 - t)$ , entonces

α * \bar{α} ≃_{p} ϵ_{x_{0}} y \bar{α} * α ≃_{p} ϵ_{x_{1}} .

Camino inverso

Se aprecia por su definición que $\bar{α}$ es el camino $α$ recorrido en sentido contrario.
Pues $\bar{α} (0) = α (1)$ , mientras que $\bar{α} (1) = α (0)$ .