Homomorfismo inducido

Sea $f : X \to Y$ una aplicación continua. Para todo punto $x_{0} \in X$ , $f$ induce una aplicación entre esos grupos fundamentales

f_{*} : π_{1} (X, x_{0}) \to π_{1} (Y, f (x_{0}))

definida por

f_{*} ([α]) = [f \circ α],

a la que se le denomina el homomorfismo inducido por $f$ .

Propiedades

Si $f : X \to Y$ y $g : Y \to Z$ son continuas, entonces:

(g \circ f)_{*} = g_{*} \circ f_{*}

Para la identidad $I d_{X} : X \to X$ se tiene que

({Id}_{X})_{*} = I d |_{π_{1} (X, x_{0})}

Si $f$ es un homeomorfismo, entonces $f_{*}$ es un isomorfismo de grupos. Por tanto, el grupo fundamental es un invariante topológico.

Info

La aplicación induce $f_{*}$ pues $π_{1} (X, x_{0}) \subset X$ y $π_{1} (Y, f (x_{0})) \subset Y$ .
Además, partiendo de un lazo $α$ basado en $x_{0}$ , la composición $f \circ α$ es también un lazo, pero basado en $f (x_{0})$ . Por tanto, transporta la información de los lazos en $X$ hacia sus imágenes en $Y$ .

Info

Se mantiene la estructura de grupos. La imagen también es un grupo.

Comentarios (falta)

4. $f \circ α : I \to Y$ continua, y por tanto $[f \circ α] \in π_{1} (X, f (x_{0}))$
5. $f_{*}$ está bien definida. Pues si $[α] = [α^{'}]$ , con $α, α^{'} : I \to X$ lazos en $x_{0}$ , entonces $f \circ α$ es un lazo en $f (x_{0})$ y también $f \circ α^{'}$ . Así,

$α \sim α^{'} ⟹ f \circ α \sim f \circ α^{'}$

$F : X \times I \to Y$ homotopía, $F (x, t)$ continua y $F (x, 0) = f (x), F (x, 1) = g (x)$ .

$h : Z \to X ⟹ f \circ h \sim g \circ h$ ya que $\bar{F} (z, t) = F (h (z), t) = \bar{F} (z, 0) = F (h (z), 0) = f (h (x))$ . Y también $\bar{F} (z, 1) = F (h (z), 1) = g (h (z))$ .

$f$ homomorfismo.