Aplicaciones homotópicas

Dos aplicaciones continuas entre espacios topológicos son homotópicas si una de ellas puede "deformarse continuamente" en la otra. Dicha deformación vendrá dada por la función $H$, la cual, variando un parámetro entre $0$ y $1$ pasará de la función $f$ a la $g$.

Si $H$ es una homotopía, para cada $t\in [0,1]$, definimos $H_t(x):=H(x,t)$. Entonces $H_0=f$, $H_1=g$. Además, fijado $x$, $H_x(t):=H(x,t)$ es un camino en $Y$ uniendo $f(x)$ con $g(x)$.

1. Si $Y\subset {\mathbb{R}}^n$ es convexo, cada par de aplicaciones continuas $f,g:X\to Y$ son homotópicas.
2. Sean $X$, $Y$ espacios topológicos y $y_1,y_2\in Y$. Las aplicaciones constantes $C_{y_i}:X\to Y$ dadas por $C_{y_i}(x)=y_i,i=1,2$ son homotópicas si y solo si existe un arco en $Y$ uniendo $y_1$ con $y_2$.