Aplicación recubridora

Sea $p : E \to B$ una aplicación continua y sobreyectiva^[1]. Se dice que $p$ es una aplicación recubridora si para todo $b \in B$ existe un entorno $U \in E (b)$ tal que:

p^{- 1} (U) = ⨆_{i \in J} V_{i}

donde los $V_{i}$ son abiertos disjuntos en $E$ , y

p |_{V_{i}} : V_{i} \to U

es un homeomorfismo para todo $i \in J$ . Se dice que $E$ es un espacio recubridor de $B$ .

Ejemplos

La aplicación $p : R \to S^{1}$ dada por $p (t) = (\cos 2 π t, \sin 2 π t) = e^{2 π t i}$ es una aplicación recubridora.
La aplicación $p : S^{1} \to S^{1}$ dada por $p (x, y) = (x^{2} - y^{2}, 2 x y)$ (elevar al cuadrado en $C$ ) es una aplicación recubridora.

Hojas

Si $J = {1, \dots, n}$ , diremos que $p$ es una aplicación recubridora de $n$ hojas.

Notación

Al espacio $E$ se le conoce como fibra y al $B$ como base.

La sobreyectividad garantiza la existencia de una preimagen para cualquier punto (o entorno) de $B$ . También significa que la imagen de $p$ es todo $B$ . En cambio, no será inyectiva. ↩︎