Proposición 6.8

Enunciado

La aplicación $\hat{\sigma }$[^1] es un isomorfismo de grupos para todo camino $\sigma$.

Demostración

Basta probar que $\hat{\sigma }$ es un homomorfismo, esto es,

ya que $(\hat{\sigma }{)}^{-1}=\widehat{(\overline{\sigma })}$.

1. Veamos que, en efecto, $(\hat{\sigma }{)}^{-1}=\widehat{(\overline{\sigma })}$. Para ello, $$
   \hat{(\bar{\sigma})}(\hat{\sigma})([\gamma])=[\gamma]\iff [\hat{\hat{\sigma}}][\hat{\sigma}][\gamma][\sigma][\bar{\sigma}]=[\gamma]\iff[\varepsilon_{x_{0}}][\gamma][\varepsilon_{x_{0}}].$$Se ha utilizado que $(\hat{\sigma })([\gamma ])=[\overline{\sigma }]\ast [\gamma ]\ast [\sigma ]$. De forma análoga, $$
   (\hat{\sigma})(\hat{\bar{\sigma}})([\delta])=[\delta]

\hat{\sigma}([\alpha][\beta])=[\sigma][\alpha][\beta][\sigma]=[\bar{\sigma}][\alpha][\sigma]