Proposición 6.18

Enunciado

Sea $p:E\to B$ una aplicación recubridora. Sean también $e\in E,b\in B$ tales que $p(e)=b$.

1. Si $E$ es conexo por caminos, entonces $\mathrm{\Phi }$ es sobreyectiva.

2. Si $E$ es simplemente conexo, entonces $\mathrm{\Phi }$ es biyectiva. ^[1]

Siendo $\mathrm{\Phi }$ la que aparece en la correspondencia del levantamiento.

Demostración

Si $E$ es conexo por caminos, dado $e_1\in p^{-1}(b)$, existe un camino $\tilde{\alpha }$ en $E$ uniendo $e$ con $e_1$. Entonces $\alpha =p\circ \tilde{\alpha }$ es un lazo centrado en $b$, con $\mathrm{\Phi }([\alpha ])=e_1$ por definición. De esta manera, $\mathrm{\Phi }$ es sobreyectiva.

Por otro lado, supongamos que $E$ es simplemente conexo y sean $[\alpha ]$ y $[\beta ]$ clases de ${\pi }_1(B,b)$, con $\mathrm{\Phi }([\alpha ])=\mathrm{\Phi }([\beta ])$. Asimismo, sean $\tilde{\alpha }$ y $\tilde{\beta }$ los levantamientos comenzando en $e$ y terminando en $\tilde{\alpha }(1)=\tilde{\beta }(1)$. Como $E$ es simplemente conexo, existe una homotopía por caminos $\tilde{H}$ entre las curvas $\tilde{\alpha }$ y $\tilde{\beta }$. Entonces $H=p\circ \tilde{H}$ homotopía entre $\alpha$ y $\beta$. Por tanto $[\alpha ]=[\beta ]$, es decir $\mathrm{\Phi }$ es inyectiva y, por tanto, también biyectiva^[2].