Proposición 6.17

Enunciado

Sea $p : E \to B$ una aplicación recubridora. Sean también $e \in E, b \in B$ tales que $p (e) = b$ . Sean $α, β$ dos caminos en $B$ comenzando en $b$ y finalizando en el mismo punto^[1], y sean $\tilde{α}, \tilde{β}$ sus respectivos levantamientos desde $e$ . Si $α ≃_{p} β$ , entonces $\tilde{α} ≃_{p} \tilde{β}$ y ambos terminan en el mismo punto de $E$ .

Demostración

Sea $H$ la homotopía entre $α$ y $β$ que cumple que $H (0, 0) = β$ , para la aplicación $H : I \times I \to B$ .
Sea $\tilde{H}$ la homotopía del lema 6.16 (la primera por ser homotopía y la segunda por serlo por caminos):

\tilde{H} : I \times I \to E \tilde{H} (0, 0) = e y {\begin{cases} \tilde{H} (x, 0) = \tilde{α} (x) | \tilde{H} (0, t) = \tilde{α} (0) = \tilde{β} (0) = e \\ \tilde{H} (x, 1) = \tilde{β} (x) | \tilde{H} (1, t) = \tilde{α} (1) = \tilde{β} (1) = e_{1} \end{cases}

Se cumple que $\tilde{H}$ es homotópica por caminos, es decir,

\tilde{H} (0 \times I) = {e} y \tilde{H} (1 \times I) = {e_{1}}

Como conclusión, $\tilde{H} (x, 0) = \tilde{α} (x)$ y $\tilde{H} (x, 1) = \tilde{β} (x)$ . Por tanto, $\tilde{α}$ y $\tilde{β}$ terminan en el mismo punto: $\tilde{α} (1) = \tilde{β} (1) = e_{1}$ .

No quiere decir que acaben necesariamente también en $b$ , sino en un punto cualquiera común. Esto es, no tienen por qué ser lazos. ↩︎