Lema 6.16

Enunciado

Sea $p : E \to B$ una aplicación recubridora. Sean también $e \in E, b \in B$ tales que $p (e) = b$ . Para cualquier homotopía por caminos $H : I \times I \to B$ con $H (0, 0) = b$ , existe una única homotopía por caminos $\tilde{H} : I \times I \to E$ que empieza en $e$ ^[1] tal que:

p \circ \tilde{H} = H

Demostración

Elegimos subdivisiones $s_{0} < s_{1} < \dots < s_{n}$ y $t_{0} < t_{1} < \dots < t_{n}$ tan pequeñas (número de Lebesgue) como queramos: $I_{i} \times I_{j} = [s_{i - 1}, s_{i}] \times [t_{j - 1}, t_{j}]$ . Definimos entonces $\tilde{H} (0, 0) = e$ . El lema 6.15 nos permite definir $H$ tanto en ${0} \times I$ como en $I \times {0}$ . Para cada rectángulo $I_{i} \times I_{j}$ realizamos una construcción como con el levantamiento.

Ese $A = I_{i} \times I_{j}$ cumple que $H (A) \subset U$ para $U$ abierto de $B$ así como en la definición de aplicación recubridora. Tenemos $p |_{V_{α}} : V \to U$ homeomorfismo^[2]. Para elegir qué $V_{α}$ hace el papel de $V_{0}$ basta tomar un punto $x \in I_{i} \times I_{j} \cap I_{α} \times I_{β}$ tal que $\tilde{H} (x)$ ya esté definido. Una vez elegido el $V_{0}$ entonces

\tilde{H} (x) = p_{0}^{- 1} (H (x)), con p_{0} = p |_{V_{0}} .

Conexión

El lema 6.15 es un caso particular donde se fija el primer parámetro $H (x_{0}, 0) = α (0)$ .

$\tilde{H} (0, 0) = e$ . ↩︎
Es biyectiva. (Creo que había un lema). ↩︎