Lema 6.15 - Levantamiento

Enunciado

Sea $p:E\to B$ una aplicación recubridora. Sean también $e\in E,b\in B$ tales que $p(e)=b$. Para cualquier camino $\alpha :I\to B$ que comienza en $b$, existe un único camino $\tilde{\alpha }:I\to E$ que empieza en $e$ tal que:

Al camino $\tilde{\alpha }$ se le llama levantamiento de $\alpha$.

Demostración

Cubrimos todo $B$ por abiertos suficientemente pequeños. Tomamos una división del intervalo $I=[0,1]$, $\{s_0,s_1,\dots ,s_n\}$ tal que para todo $i$, el conjunto $\alpha ([s_i,s_{i+1}])$ está contenido en alguno de los abiertos anteriores. Esto existe por el lema del número de Lebesgue.

Vamos a definir $\tilde{\alpha }:[0,1]\to E$ en cada intervalo $[s_i,s_{i+1}]$. Por hipótesis, $\tilde{\alpha }(0)=e$. Suponiendo que $\tilde{\alpha }$ está definido para $0\le s\le s_i$, definamos $\tilde{\alpha }$ en $[s_i,s_{i+1}]$ como sigue:

como en la definición de aplicación recubridora. Entonces, existen $V_{\alpha }$ abiertos en $E$ tales que $p{|}_{V_{\alpha }}\to U$ es un homeomorfismo. Como $\tilde{\alpha }(s_i)$ está ya definido, $\tilde{\alpha }(s_i)\in V_0$ con $V_0$ en algún $V_{\alpha }$. Por tanto, definimos

Esto nos otorga la existencia del camino.

En cuanto a la unicidad, se hace de forma similar. Sea $\widetilde{\stackrel{~}{\alpha }}$ otro camino en $E$ tal que

veamos que $\tilde{\alpha }(s)=\widetilde{\stackrel{~}{\alpha }}(s)$ para $s\in I$.
Siguiendo un razonamiento parecido al anterior, podemos encontrar $V_0$ abierto de $E$ tal que

Como $p$ es biyectiva en $V_0$ y $U$, se tiene que $\tilde{\alpha }(s)=\widetilde{\stackrel{~}{\alpha }}(s)$ para $s\in [s_i,s_{i+1}]$.

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