Corolario 6.24

Enunciado

Supongamos que $X=U\cup V$, con $U$ y $V$ abiertos, al mismo tiempo que tanto $U\cap V\ne \varnothing$ como $U$ y $V$ son conexos por caminos. Si $U$ y $V$ son simplemente conexos, entonces $X$ también lo es.

Demostración

Ya que tanto $U$ como $V$ son arco conexos, $X=U\cup V$ también lo es. Por tanto,

Aplicando ahora el teorema de Seifert-van Kampen, ${\pi }_1(X,x_0)$ está generado por ${\iota }_{\ast },{\iota }_{\ast }^{\prime }$. No obstante, al ser $U$ y $V$ simplemente conexos, significa que ${\pi }_1(X,x_0)=0$^[1]; por tanto $X$ es simplemente conexo.