Corolario 6.12

Enunciado

El grupo fundamental es un invariante homotópico. Es decir, si $f : X \to Y$ es una equivalencia de homotopía, entonces:

f_{*} : π_{1} (X, x_{0}) \to π_{1} (Y, f (x_{0}))

es un isomorfismo de grupos.

Demostración

Primero, por ser $f$ una equivalencia de homotopía, existe otra aplicación continua $g : Y \to X$ tal que

g \circ f ≃ I d_{X}, f \circ g ≃ I d_{Y} .

Nota

Obviando que hablamos de grupos fundamentales, por un lado tenemos que $f_{*}$ lleva $x_{0}$ en $f (x_{0})$ , mientras que definimos ${\tilde{f}}_{*}$ como la aplicación que lleva $(g \circ f) (x_{0})$ en $(f \circ g \circ f) (x_{0})$ .
Por otro lado, tomamos $σ$ como el camino que une $(g \circ f) (x_{0})$ con $x_{0}$ , así como $τ$ aquel que une $(f \circ g \circ f) (x_{0})$ con $f (x_{0})$ .

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De esta manera, tenemos que $σ$ es una homotopía entre las aplicaciones continuas $I d_{X}, g \circ f$ ; al mismo tiempo que también lo es $τ$ pero entre $I d_{Y}, \tilde{f} \circ g$ . Por tanto, por la proposición 6.11:

\hat{σ} \circ (I d_{X})_{*} = \hat{σ} \circ I d |_{π_{1} (X, x_{0})} = (g \circ f)_{*} = g_{*} \circ f_{*}

Análogamente^[1]

\hat{τ} \circ (I d_{Y})_{*} = \hat{τ} \circ I d |_{π_{1} (Y, f (x_{0}))} = (\tilde{f} \circ g)_{*} = {\tilde{f}}_{*} \circ g_{*}

En este punto, la aplicación $I d |_{π_{1} (X, x_{0})}$ es un isomorfismo de grupos^[2]; asimismo, por la Math/Topología de Superficies/Tema 6/Demostraciones/Proposición 6.8, también lo es $\hat{σ}$ . Ídem para $I d |_{π (Y, f (x_{0}))}$ y $\hat{τ}$ . Por tanto, sus composiciones también son isomorfismos de grupo, esto es, $g_{*} \circ f_{*}$ y ${\tilde{f}}_{*} \circ g_{*}$ lo son. Por este motivo, como la primera composición es un isomorfismo, entonces $f$ será inyectiva; asimismo, de la segunda se deduce que es sobreyectiva^[3].

Como consecuencia, $f$ es un homeomorfismo y, por la propiedad 3 del homomorfismo inducido, $f_{*}$ es un isomorfismo de grupos.

Notar que se han aprovechado también las propiedades 1 y 2 del homomorfismo inducido. ↩︎
Por la propiedad 3 del homomorfismo inducido, ya que $I d_{X} : X \to X$ es claramente un homeomorfismo. ↩︎
Recordar que $f$ y $\tilde{f}$ son la misma función en realidad, tan solo se aplicaban sobre puntos diferentes. ↩︎