Transformaciones elementales sobre presentaciones poligonales

Las transformaciones elementales que se pueden realizar sobre una presentación poligonal son:

1. Renombrado

Cambiar el nombre de las letras. Sustituir todas las apariciones de una letra $a$ por otra letra $b$ que no estuviera en la presentación.

2. Subdivisión

Dividir una arista en varias. Cambiar todas las apariciones de una letra $a$ por $a b$ , así como las apariciones de $a^{- 1}$ por $b^{- 1} a^{- 1}$ , donde $b$ es una nueva letra.

3. Consolidado

Unir varias aristas en una. Dadas dos letras $a$ y $b$ , siempre juntas bien sea como $a b$ o como $b^{- 1} a^{- 1}$ , sustituirlas por $c$ o $c^{- 1}$ respectivamente, donde $c$ es una letra nueva.

4. Reflejo

Cambiar la orientación de una arista. Cambiar una palabra de la forma $a_{1} a_{2} \dots a_{k}$ por $a_{k}^{- 1} \dots a_{2}^{- 1} a_{1}^{- 1}$ , con $a_{i}$ letras ya en la presentación.

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5. Rotación

Cambiar el orden de las aristas. Cambiar una palabra con estructura $a_{1} a_{2} \dots a_{k}$ por algo como $a_{2} \dots a_{k} a_{1}$ , donde $a_{i}$ son letras de la presentación.

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6. Corte

Dividir el polígono en dos. Dada una palabra concatenando $W_{1} W_{2}$ , la sustituimos en la presentación por $W_{1} a, a^{- 1} W_{2}$ como palabras nuevas; siendo $a$ una letra nueva.

7. Pegado

Unir dos polígonos en uno. Sustituir dos palabras $W_{1} a, a^{- 1} W_{2}$ por una sola $W_{1} W_{2}$ .

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8. Plegado

Doblar una arista sobre sí misma. Una palabra de la forma $W_{1} a a^{- 1}$ se sustituye por $W_{1}$ (siempre y cuando que cumpla las condiciones de presentación poligonal).

9. Desplegado

Abrir una arista plegada. Una palabra $W_{1}$ se sustituye por otra $W_{1} a a^{- 1}$ .

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