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Realización geométrica

Realización geométrica de P

Toda presentación poligonal P tiene asociado un espacio topológico |P|, llamado realización geométrica de P, construido como sigue:

  1. Para cada palabra se considera un polígono con el mismo número de aristas que la longitud de la palabra. [1]
  2. Cada arista se etiqueta correlativamente con las letras de la palabra, con orientación opuesta si la letra está elevada a -1. [2]
  3. Finalmente, se identifican las aristas con el mismo nombre y orientación mediante la topología cociente. Esto es, están relacionadas (se "pegan"). [3]
Intuición

El espacio topológico final será el resultado de "unir" todas las aristas equivalentes en el espacio cociente, esto es, una combinación finita de distintos polígonos bien definidos.

  1. Por lo que serán todo polígonos de al menos tres lados al dibujarlo, excepto, a lo sumo, un único con dos aristas. Hay que tener en cuenta que cada par de letras iguales están identificados, por lo que al contar aristas en la fórmula clásica en realidad se está contando el número de letras diferentes. ↩︎

  2. Orientación respecto al recorrido de la frontera o contorno, normalmente es sentido antihorario. ↩︎

  3. Esto no quiere decir que dos letras a, a−1 no se puedan pegar, aunque parezca que no tengan la misma orientación. Se pegarían al revés. En particular, al describir la frontera de un polígono en un solo sentido, cada arista se etiqueta como a o a−1, según la orientación coincida o se invierta con su pareja; pero si tienen sentido contrario, a−1, al cambiar la orientación, hace que acaben con la misma, por lo que podrán unirse. ↩︎