Característica de Euler

Si $P$ es una presentación poligonal de una superficie, se define su característica de Euler como

χ (P) = V - E + F,

donde $V$ , $E$ y $F$ son, respectivamente, el número de vértices, aristas y caras.

Intuición

Mide la cantidad de agujeros que tiene una superficie.
Por ejemplo, en una esfera no hay agujeros, y se tiene que su característica es $2$ ; al mismo tiempo, un toro sí tiene, por lo que tendrá un valor menor, en concreto, $0$ .

Propiedad

La característica de Euler de la suma conexa de dos superficies compactas $S_{1}$ y $S_{2}$ es:

χ (S_{1} # S_{2}) = χ (S_{1}) + χ (S_{2}) - 2

Dos toros

$χ (T^{2} # T^{2}) = χ (T^{2}) + χ (T^{2}) - 2 = 0 + 0 - 2 = - 2$

Dos planos proyectivos

$χ ({RP}^{2} # {RP}^{2}) = χ ({RP}^{2}) + χ ({RP}^{2}) - 2 = 1 + 1 - 2 = 0$

Deducción

Como se ha visto en la clasificación de superficies compactas, dada una superficie, de ser compacta, será homeomorfa a uno de tres grupos.
Por tanto, conociendo la característica de Euler de la esfera, del toro y del plano proyectivo, podemos conocer la característica de cualquier otra superficie una vez distingamos con qué homeomorfismo se puede clasificar.

Conexión

Es un caso particular de lo visto sobre el número de Euler, solo que aplicado a superficies, esto es, para un complejo simplicial de dimensión $2$ .