Lema 5.6

Enunciado

1. La botella de Klein $K$ y ${\mathbb{RP}}^2\mathrm{\#}{\mathbb{RP}}^2$ son homeomorfas.

2. ${\mathbb{T}}^2\mathrm{\#}{\mathbb{RP}}^2$ y ${\mathbb{RP}}^2\mathrm{\#}{\mathbb{RP}}^2\mathrm{\#}{\mathbb{RP}}^2$ son homeomorfas.

Demostración

1. El primer paso es cortar; a continuación, se rota, a la vez que se refleja uno de los triángulos; por último se pegan.

2. Como ya se tenía el polígono cortado por la arista que lo divide, nuevamente se rota y se refleja uno de los cuadrados; posteriormente, se pegan y se vuelve a cortar pero esta vez separando un triángulo; se rotan ambos polígonos para luego reflejarse el triángulo; finalmente, se pegan.