Topología cociente

Sea $(X, T)$ un espacio topológico, $\sim$ una relación de equivalencia en $X$ y $p : X \to \tilde{X} = X / \sim$ la proyección al cociente. La topología final de $p$ sobre $\tilde{X}$ , dada por:

\tilde{T} := T (p) = {V \subset \tilde{X} : p^{- 1} (V) \in T} = T / \sim

define una topología sobre $X ̃$ , denominada la topología cociente sobre $X ̃$ .

El espacio dado por el par $(X / \sim, T / \sim) = (\tilde{X}, \tilde{T})$ se llama espacio cociente.

$V$ es un abierto de $\tilde{X}$ si y solo si: $⋃_{[x] \in V} [x] es abierto en X .$
Si $X$ es compacto, entonces $\tilde{X}$ es compacto.
Si $X$ es conexo (o conexo por caminos), entonces $\tilde{X}$ es conexo (o conexo por caminos).
$p : (X, T) \to (\tilde{X}, \tilde{T})$ es una identificación.
Si $g : (\tilde{X}, \tilde{T}) \to (Y, T^{'})$ es continua, entonces $g \circ p : (X, T) \to (Y, T^{'})$ también es continua.

Intuición

La topología cociente es la topología final respecto a la proyección al cociente como función $p$ .

Observaciones

Toda relación de equivalencia $\sim$ sobre $X$ determina un espacio cociente dado por $\tilde{X} = X / \sim$ , y viceversa
Al definir un cociente se identifican los puntos que están en cierta clase de equivalencia.
$\tilde{T}$ es la topología más fina sobe $\tilde{X}$ que hace continua a $p$ .