Proposición 4.1

Sea $f : X \to Y$ una aplicación y consideramos $R_{f}$ la relación de equivalencia en $X$ dada por:

x R_{f} x^{'} ⟺ f (x) = f (x^{'}) \forall x, x^{'} \in X .

Enunciado

Dados $(X, T)$ y $(Y, T^{'})$ espacios topológicos y siendo $(\tilde{X}, \tilde{T})$ el espacio cociente dado por $R_{f}$ , se tiene que existe una aplicación $\tilde{f} : (\tilde{X}, \tilde{T}) \to (Y, T^{'})$ que proporciona el siguiente diagrama conmutativo:^[1]
![[diagram-20250319.svg#invert_B]]
donde $p (x) = [x]$ es la proyección al espacio cociente.
Además, la aplicación $f : (X, T) \to (Y, T^{'})$ es una identificación si y solo si $\tilde{f} : (\tilde{X}, \tilde{T}) \to (Y, T^{'})$ es un homeomorfismo.

Demostración

Para que el diagrama sea conmutativo buscamos que

(\tilde{f} \circ p) (x) = \tilde{f} (p (x)) = \tilde{f} ([x]) = f (x);

por tanto, definimos $\tilde{f} : (\tilde{X}, \tilde{T}) \to (Y, T^{'})$ como $\tilde{f} ([x]) = f (x)$ , que estará bien definida.

$(⟸)$ Suponemos que $\tilde{f}$ es un homeomorfismo. Entonces, $f = \tilde{f} \circ p$ es continua, por ser composición de funciones continuas; así como sobreyectiva, puesto que tanto $\tilde{f}$ , por ser una biyección, y $p$ , por definición de identificación, lo son. Asimismo, comprobamos que es abierta, ya que dado $U \in T$ ,

f (U) = (\tilde{f} \circ p) (U) \in T^{'} .

Pues en la topología cociente siempre se puede expresar $U = p^{- 1} (W)$ , con $W \in \tilde{T}$ , de manera que $p (U) = p (p^{- 1} (W)) = W$ abierto; a la vez que $\tilde{f} (W)$ también es abierto por ser una aplicación abierta como consecuencia de ser un homeomorfismo. Por la propiedad 3 de identificaciones, $f$ es una identificación.

$(⟹)$ Suponiendo que $f$ es una identificación, en particular será sobreyectiva y su topología de llegada coincide con la topología final: $T^{'} = T (f)$ , lo que significa que $f$ es continua. Al ser $p$ otra identificación y $f$ continua, $\tilde{f}$ también lo será debido a la propiedad 2 de identificaciones.
La inyectividad es clara por la relación de equivalencia escogida. Del mismo modo, la sobreyectividad se prueba gracias a que $f$ lo es: dado $y \in Y$ , existe $x \in X$ tal que $f (x) = \tilde{f} ([x]) = y$ . Esto significa que $\tilde{f}$ es una función biyectiva.
Por último, para ver que $\tilde{f}$ es abierta tomamos un $U \in \tilde{T}$ , teniendo que su preimagen es abierto:

f^{- 1} (\tilde{f} (U)) = p^{- 1} ({\tilde{f}}^{- 1} (\tilde{f} (U))) = p^{- 1} (U) \in T

por ser $p$ continua; por tanto, $\tilde{f}$ es una aplicación abierta. $◼$

Lo que significa que "no importa qué camino de flechas se siga", esto es, $\tilde{f} \circ p = f$ . En más detalle, es un diagrama de objetos (vértices), morfismos (aristas) y rutas, tales que todas las rutas directas en el diagrama con los mismos puntos finales y el mismo comienzo conducen al mismo resultado por composición. Puede que la composición de diferentes rutas no de el mismo resultado, en cuyo caso no sería conmutativo. ↩︎