Propiedades unión disjunta

Enunciado

1. Cada inclusión ${\iota }_{\alpha }$ es un embebimiento, por lo que podemos identificar $X_{\alpha }\equiv {\iota }_{\alpha }(X_{\alpha })\subset \underset{\alpha \in J}{⨆}{X}_{\alpha }$.

2. Un subconjunto es abierto en $\underset{\alpha \in J}{⨆}{X}_{\alpha }$ si y solo si su intersección con cada $X_{\alpha }$ es un abierto en $X_{\alpha }$.

3. Una aplicación $f:\underset{\alpha \in J}{⨆}{X}_{\alpha }\to Y$ es continua si y solo si cada $f{|}_{X_{\alpha }}$ es continua, para todo $\alpha \in J$.

4. Si todos los espacios $X_{\alpha }$ son Hausdorff (o 1AN), la unión disjunta también es Hausdorff (o $1A\mathbb{N}$).

5. Si todos los espacios $X_{\alpha }$ son 2AN y $J$ es numerable, entonces la unión disjunta también es $2A\mathbb{N}$.

6. La unión disjunta de una cantidad numerable de $n$-variedades es una $n$-variedad.