Teorema de Tychonoff

Antes de enunciar el teorema, se pasa por unas cuestiones preliminares.

Propiedad de la intersección finita

Una colección $C$ de subconjuntos tiene la propiedad de la intersección finita si la intersección de cualquier número finito de subconjuntos de la colección es no vacía. Esto es, si cada subcolección finita
${C_{1}, C_{2}, \dots, C_{n}}$
de conjuntos de $C$ tiene intersección, $C_{1} \cap C_{2} \cap \dots \cap C_{n} \neq \emptyset$ .

También existe un criterio, esta vez formulado en término de conjuntos cerrados en lugar de abiertos, para determinar la compacidad. Se trata de la Proposición 34:

Enunciado

Un espacio $X$ es compacto si y sólo si cualquier colección $C$ de cerrados de $X$ con la propiedad de la intersección finita tiene intersección $⋂_{C \in C} C$ no vacía.

Para asegurar que la elección de puntos que pertenecen a una intersección es correcta, no pudiendo tomar puntos que, tras más intersecciones queden fuera, se amplia la colección $A$ que cumple la propiedad de la intersección finita con la que se trabaja (conservando todavía dicha propiedad). Esta ampliación supondrá una restricción en las posibles elecciones de puntos del espacio. Para ampliar siempre correctamente, se tomará $D$ como la colección "más grande posible".

Para probar la existencia de semejante colección se recurre al Lema de Zorn.

Lema de Zorn

Todo conjunto parcialmente ordenado no vacío en el que toda cadena (subconjunto totalmente ordenado) tiene una cota superior, contiene al menos un elemento maximal.

Ahora, el Lema 7:

Enunciado

Sea $X$ un conjunto y $A$ una colección de subconjuntos de $X$ que tiene la propiedad de la intersección finita. Entonces existe una colección $D$ de subconjuntos de $X$ que contiene a $A$ y tiene la propiedad de la intersección finita que además es maximal, esto es, no hay ninguna otra colección con esa propiedad que contenga a $D$ .

Asimismo, se necesita del Lema 8:

Enunciado

Sea $X$ un conjunto y $D$ una colección de subconjuntos de $X$ que es maximal con respecto a la propiedad de la intersección finita. Entonces:

Cualquier intersección finita de elementos de $D$ es un elemento de $D$ .
Si $A$ es un elemento que interseca a cada elemento de $D$ , entonces $A$ es un elemento de $D$ .

Teorema de Tychonoff

Enunciado

El producto de espacios compactos es un espacio compacto con la topología producto.[^1]

Ejemplos

El toro $T^{n} = S^{1} \times \dots \times S^{1}$ es compacto.
Los cubos $[0, 1]^{n} \subset R^{n}$ y $[0, 1]^{ω}$ son compactos.

Usando este resultado, es sencillo probar el

Teorema de Heine-Borel

Un subespacio $Y \subset R^{n}$ es compacto si, y solo si, $Y$ es cerrado y acotado en la distancia euclídea.

Se trata de un caso particular del Teorema de Tychonoff.

Ejemplo

La esfera $S^{n}$ es compacta.