Proposición 32

Enunciado

Sea $f : X \to Y$ una aplicación continua. Si $X$ es compacto, entonces $f (X)$ es compacto. Como consecuencia, la compacidad es un invariante topológico.

Demostración

Tomamos un $X$ compacto y $A$ un cubrimiento por abiertos de $f (X)$ . Se tiene entonces, al ser $f$ continua, que $\tilde{A} = {f^{- 1} (V) : V \in A}$ es un cubrimiento por abiertos de $X$ . Al ser $X$ compacto, podemos extraer un subcubrimiento finito ${f^{- 1} (V_{1}), \dots, f^{- 1} (V_{n})}$ . Como consecuencia, se tiene que ${V_{1}, \dots, V_{n}}$ es un subcubrimiento finito de $f (X)$ .

Ejemplo

$f : [0, 2 π] \to S^{1}$ , dada por $f (t) = (\cos t, \sin t)$ es continua y sobreyectiva; por tanto, $S^{1}$ es un espacio compacto.