Proposición 31.B

Enunciado

Todo subespacio compacto de un espacio Hausdorff es cerrado.

Demostración

Sea $K$ un subespacio compacto en un espacio $X$ Hausdorff. Probar que es cerrado implica demostrar que $X ∖ K$ es abierto, lo que supone que, tomando un $x_{0} \in X ∖ K$ fijo, siempre se puede encajar entorno en él. Ahora, $\forall y \in K$ tomamos unos entornos $U_{y} \in E (x_{0})$ y $V_{y} \in E (y)$ , que varían dependiendo del $y$ con tal de verificar que $U_{y} \cap V_{y} = \emptyset$ puesto que $X$ es Hausdorff.

De esta manera, se aprecia que $A = {V_{y}}_{y \in K}$ es un cubrimiento de $K$ por abiertos de $X$ . Como, por hipótesis, $K$ es compacto se tiene que $K \subset V_{y_{1}} \cup \dots \cup V_{y_{n}}$ . Ahora, sea $U = U_{y_{1}} \cap \dots \cap U_{y_{n}} \subset X ∖ K$ .
Por un lado,

U \cap V_{y_{i}} \subset U_{y_{i}} \cap V_{y_{i}} = \emptyset,

por lo que

U \cap K \subset U \cap (V_{y_{1}} \cup \dots \cup V_{y_{n}}) = (U \cap V_{y_{1}}) \cup \dots \cup (U \cap V_{y_{n}}) = \emptyset \cup \dots \cup \emptyset = \emptyset

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