Proposición 31.A

Enunciado

Todo subespacio cerrado de un espacio compacto es compacto.

Demostración

Sea $C$ un subespacio cerrado del compacto $X$. Buscamos aplicar la proposición 29, por lo que tomamos $\mathcal{A}=\{A_i{\}}_{i\in I}$ un cubrimiento por abiertos de $C$, siempre podemos considerar el el cubrimiento por abiertos de $X$ dado por

De esta manera, ya que $X$ es compacto, existe un subcubrimiento finito de $\mathcal{B}$ que lo cubre. Si dicho subcubrimiento contiene a $X\setminus C$, se descarta; como consecuencia, se obtendría un subcubrimiento finito de $C$ por abiertos de $\mathcal{A}$.