Proposición 27

Enunciado

Un espacio topológico $X$ es localmente conexo por caminos si, y sólo si, para todo abierto $U$ de $X$, cada componente conexa por caminos de $U$ es un abierto en $X$.

Demostración

$(⟹)$ Supongamos que $X$ es localmente conexo por caminos. Sea $C$ una componente conexa del abierto $U$ de $X$. Si $x\in C$, podemos elegir un entorno conexo $V\in \mathcal{E}(x)$ tal que $V\subset U$. Como $V$ es conexo, debe estar enteramente contenido en la componente $C$ de $U$. Así, $C$ es abierto en $X$.

$(⟸)$ -