Proposición 22

Enunciado

Todo espacio conexo por caminos es conexo. El recíproco no es cierto^[1].

Demostración

Sea $\alpha :[0,1]\to X$ un camino, se tiene que $\alpha ([0,1])$ es conexo por la proposición 21. Suponiendo que el espacio $(X,\mathcal{T})$ es arco conexo, dado un punto $p\in X$, para cualquier $x\in X$ se tiene que existe un ${\alpha }_x:[0,1]\to X$ camino de $p$ a $x$. De esta manera, ya que $X=\bigcup _{x\in X}{\alpha }_x([0,1])$, entonces es conexo por la proposición 17 pues es una unión de conexos con el punto $p$ común.