Proposición 21

Enunciado

Sea $f:X\to Y$ una aplicación continua. Si $X$ es conexo, entonces $f(X)$ es conexo. La conexión es un invariante topológico.

Demostración

Supongamos que el espacio $X$ es conexo pero que $f(X)$ no lo es, es decir, existe una separación de abiertos disjuntos no nulos $f(X)=U\cup V$. Como consecuencia, $X=f^{-1}(U)\cup f^{-1}(V)$; no obstante, $X$ es conexo por hipótesis, lo que significa que uno de los dos tiene que ser el vacío. Esto lleva a una contradicción, concluyendo que $f(X)$ también es conexo.