Proposición 18 (Criterio del peine)

Enunciado

Sea ${Y_{i}}_{i \in I}$ una colección de subespacios conexos de un espacio topológico $X$ . Si existe otro subespacio conexo $Y$ tal que $Y \cap Y_{i} \neq \emptyset$ para todo $i$ , entonces

Y \cup (⋃_{i \in I} Y_{i})

es conexo.

Demostración

Sea $Z = Y \cup (⋃_{i \in I} Y_{i})$ . Suponemos que $Z$ no es conexo, por lo que existe una separación $Z = U \cup V$ . Por la proposición 16, por un lado, $Y \subset U$ o $Y \subset V$ ; y por otro, $Y_{i} \subset U$ o $Y_{i} \subset V$ para un $i \in I$ . Suponemos w.l.o.g. que $Y \subset U$ , como por hipótesis $Y \cap Y_{i} \neq \emptyset$ , entonces gracias a la proposición 17, $Y_{i} \subset U \forall i \in I ⟹ Z \subset Y$ . Por lo que $Z$ es conexo y $V = \emptyset$ .