Proposición 17

Enunciado

La unión de una colección de subespacios conexos de $X$ con algún punto en común es un subespacio conexo.

Demostración

Sea ${Y_{i}}_{i \in I}$ una colección de subespacios conexos de $(X, T)$ con cierto $x \in ⋂_{i \in I} Y_{i}$ . Definimos $Y = ⋃_{i \in I} Y_{i}$ y suponemos que no es conexo, esto es, existe una separación $Y = U \cup V$ de $Y$ . Aplicando la proposición 16, se tiene que cada $Y_{i}$ está contenido o bien en $U$ o bien en $V$ ; no obstante, si hubiera un $Y_{i} \subset U$ a la vez que otro $Y_{j} \subset V$ , su intersección $Y_{i} \cap Y_{j} = \emptyset$ , lo que contradice la hipótesis. Por tanto, se concluye que $Y$ es conexo.