Proposición 16

Enunciado

Si $\{U,V\}$ es una separación de un espacio topológico $X$ e $Y\subset X$ es un subespacio conexo, entonces $Y\subset U$ o $Y\subset V$.

Demostración

Sea $\{U,V\}$ separación de $X$, entonces $Y=X\cap Y=(U\cup V)\cap Y=(U\cap Y)\cup (V\cap Y)$, teniendo que $\{U\cap Y,V\cap Y\}$ es una separación de $Y$. Sin embargo, como $Y$ es conexo, uno de ellos debe ser vacío, teniendo a $Y$ contenido en el otro.