Lema 8

Enunciado

Sea $X$ un conjunto y $\mathcal{D}$ una colección de subconjuntos de $X$ que es maximal con respecto a la propiedad de la intersección finita. Entonces:

1. Cualquier intersección finita de elementos de $\mathcal{D}$ es un elemento de $\mathcal{D}$.
2. Si $A$ es un elemento que interseca a cada elemento de $\mathcal{D}$, entonces $A$ es un elemento de $\mathcal{D}$.

Demostración

Procedemos por partes:

1. Sea $B=D_1\cap \cdots \cap D_n$, con $D_i\in \mathcal{D}$. Definimos la colección $\tilde{\mathcal{D}}=\mathcal{D}\cup B$ y comprobamos que $\tilde{\mathcal{D}}$ sigue teniendo la propiedad de la intersección finita. Escogemos un número finito de elementos de $\tilde{\mathcal{D}}$, si ninguno de ellos es el conjunto $B$, entonces su intersección es no vacía ya que $\mathcal{D}$ verifica dicha propiedad; por el contrario, si alguno de ellos es $B$, entonces su intersección es de la forma$$
   D_{1}\cap\dots\cap D_{m}\cap B.$$Como\$B\$esunaintersecciónfinitadeelementosde\$\mathcal{D}\$yelrestodeelementospertenecentambiéna\$\mathcal{D}\$,entoncesesteconjuntoesnovacío.Alcumplirlapropiedaddelaintersecciónfinita,porlamaximalidadde\$\mathcal{D}\$laúnicaposibilidadesque\$\tilde{\mathcal{D}}=\mathcal{D}\$,luego\$B\in \mathcal{D}\$.$$D_{1}\cap\dots\cap D_{m}\cap A.$$Porelapartado1),\$D_1\cap \cdots \cap D_m\in \mathcal{D}\$,loqueimplicaqueesnovacíaporhipótesis.\$◼\$$$