Lema 10 (Número de Lebesgue)

Enunciado

Sea $(X, d)$ un espacio métrico y $A$ un cubrimiento abierto de este. Si $X$ es compacto por sucesiones[^1], entonces $A$ admite un número de Lebesgue.

Demostración

Sea $A$ un cubrimiento abierto de $X$ . Por reducción al absurdo, supongamos que no existe un número de Lebesgue, por lo que existe una sucesión $(x_{n})$ tal que $B (x_{n}, \frac{1}{n}) ⊈ A \forall A \in A$ . Asimismo, por ser sucesionalmente compacto, existe una subsucesión $(x_{n_{k}}) \to p$ convergente, con $p \in A_{p} \in A$ , a la vez que se puede encajar una bola $B (p, ε) \subset A_{p}$ . Así, si

d (p, x_{n_{k}}) < \frac{ε}{2} y \frac{1}{n_{k}} < \frac{ε}{2}

entonces $$
B( x_{n}, \frac{1}{n_{k}} )\subset B(p, \varepsilon)\subset A_{p},

l o q u e s u p o n e a u n a c o n t r a d i c c i ó n . $ ◼ $ [^{1}] : O [[M a t h / T o p o l o g í a d e S u p e r f i c i e s / T e m a 3 / U n i d a d 7 / C u b r i m i e n t o y e s p a c i o c o m p a c t o ∥ c o m p a c t o]] . P o r l a [[M a t h / T o p o l o g í a d e S u p e r f i c i e s / T e m a 3 / D e m o s t r a c i o n e s / P r o p o s i c i ó n 35 ∥ p r o p o s i c i ó n 35]], e n e s p a c i o s m e t r i z a b l e s s o n e q u i v a l e n t e s . A u n q u e e n e s t e c a s o s e h a u t i l i z a d o e s t e l e m a p a r a p r o b a r l a .