Base para una topología

Base

Sea $X$ un conjunto. Una base para una topología sobre $X$ es una colección $B$ de subconjuntos de $X$ , llamados elementos básicos, tales que:

La unión de los elementos de $B$ es todo $X$ ^[1].
Si $x \in B_{1} \cap B_{2}$ , entonces $\exists B_{3}$ tal que $x \in B_{3} \subset B_{1} \cap B_{2}$ ; con $B_{1}, B_{2}, B_{3} \in B$ elementos básicos^[2].

Topología generada por una base

Dada una base $B$ , la topología que genera es la colección de subconjuntos $U \subset X$ que satisfacen que $\forall x \in U, \exists B \in B$ tal que $x \in B \subset U$ . Los $U$ que verifiquen esto serán los abiertos de la topología $T (B)$ .

Además, Lema 1 y Lema 2.

O bien, $\forall x \in X$ hay al menos un elemento básico $B$ que contiene a $x$ . ↩︎
Por inducción se generaliza 2), pudiendo comprobar que, dada una base $B$ de un conjunto $X$ , si $x$ está en la intersección de $n$ elementos básicos, entonces existirá otro elemento básico de manera que contenga a $x$ a la vez que está en la intersección. $x \in B_{1} \cap B_{2} \cap \dots B_{n} ⟹ \exists B_{n + 1}$ tal que $x \in B_{n + 1} \subset B_{1} \cap B_{2} \cap \dots B_{n}$ . ↩︎