Conexión local

Espacio localmente conexo

Un espacio topológico $X$ se dice que es localmente conexo si para todo $x \in X$ y todo entorno $U \in E (x)$ , existe un $V \in E (x)$ conexo tal que $V \subset U$ .

Espacio localmente conexo por caminos

Un espacio topológico $X$ se dice que es localmente conexo por caminos si para todo $x \in X$ y todo entorno $U \in E (x)$ , existe un $V \in E (x)$ conexo por caminos tal que $V \subset U$ .

Localmente conexo por caminos ⟹ Localmente conexo.

Ejemplos

El subespacio $() - 1, 0) \cup (0, 1)$ no es conexo, pero es localmente conexo. Tomando un entorno $U \in E (x)$ , siempre podremos encontrar otro entorno $V = (x, x + ε)$ o bien $V = (x - ε, x)$ conexo contenido en $U$ .
Los racionales $Q$ no son ni conexos, ni localmente conexos.