Teorema 1 (Tychonoff)

Enunciado

El producto de espacios compactos es un espacio compacto con la topología producto.^[1]

Demostración

Sea

X = \prod_{i \in I} X_{i}

con $X_{i}$ compacto para cada $i \in I$ . Por otro lado, sea $C$ una colección de cerrados arbitraria que cumple la propiedad de la intersección finita. A continuación, aplicamos el lema 7 para obtener una colección maximal $D$ con la propiedad de la intersección finita. Entonces, queremos demostrar que

\emptyset \neq ⋂_{D \in D} D \subset ⋂_{D \in D} \overset{―}{D} \subset ⋂_{C \in C} C

para verificar la compacidad de $X$ haciendo uso de la proposición 34.

Para ello, $\forall i \in I$ , consideramos la colección

{\overset{―}{π_{i} (D)} : D \in D}

de subconjuntos de $X_{i}$ . Esta colección tiene la propiedad de la intersección finita ya que, al ser la proyección una función continua, si tomamos $\overset{―}{π_{i} (D_{1})}, \dots, \overset{―}{π_{i} (D_{n})}$ entonces $\overset{―}{π_{i} (D_{1})} \cap \dots \cap \overset{―}{π_{i} (D_{n})} \supset π_{i} (D_{1} \cap \dots \cap D_{n}) \neq \emptyset$ ^[2]. Como $X_{i}$ es compacto, por la proposición 34:

⋂_{D \in D} \overset{―}{π_{i} (D)} \neq \emptyset,

véase $\exists x_{i} \in ⋂_{D \in D} \overset{―}{π_{i} (D)}$ . Tomamos $x \in \prod_{i \in I} X_{i}$ . Queremos llegar a que $x \in ⋂_{D \in D} \overset{―}{D}$ .

Así, para todo $D \in D$ sabemos que $x_{i} \in \overset{―}{π_{i} (D)}$ ^[3], por tanto, dado $U_{i} \in E (x_{i})$ , se tiene por una caracterización que $U_{i} \cap π_{i} (D) \neq \emptyset$ . Entonces $\exists y \in D$ tal que $π_{i} (y) \in U_{i}$ , implicando que $y \in π_{i}^{- 1} (U_{i}) \cap D$ , por lo que corta a todos los $D \in D$ .

Por el lema 8.2., deducimos que $π_{i}^{- 1} (U_{i}) \in D$ , es decir, los elementos subbásicos de la topología producto pertenecen a $D$ . La intersección finita de estos elementos compone los elementos básicos que contienen a $x$ , y por el lema 8.1., también pertenecerán a $D$ . Como $D$ tiene la propiedad de la intersección finita cada elemento básico $U$ que contiene a $x$ cumple que $U \cap D \neq \emptyset$ para cada $D \in D$ ; por tanto, $x \in \overset{―}{D}$ también para cualquier $D \in D$ . $◼$

Este resultado siempre es cierto si el producto es finito; no obstante, no siempre puede extenderse. Dependiendo de si se toma la topología por cajas o la topología producto, la respuesta será negativa o afirmativa, respectivamente. ↩︎
Pues $D$ tiene la propiedad de la intersección finita. ↩︎
Ya que está en la intersección. ↩︎