Proposición 19

Enunciado

Sea $Y \subset X$ un subespacio conexo. Si $Y \subset Z \subset \overset{―}{Y}$ , entonces $Z$ es conexo.^[1]

Demostración

Suponemos que $Z$ no es conexo, por lo que tomamos una separación $Z = U \cup V$ . Puesto que por hipótesis $Y \subset Z$ , la proposición 16 indica que $Y \subset U$ o $Y \subset V$ . Sin pérdida de generalidad, suponemos que

Y \subset U ⟹ \overset{―}{Y} \subset \overset{―}{U} ⟹ Z \subset \overset{―}{U}

Al ser una separación,

U = \overset{―}{U} \cap Z y V = \overset{―}{V} \cap Z

Teniendo entonces, por estar contenido en su clausura, que $U = \overset{―}{U} \cap Z ⟹ U = Z$ . Por lo que $D = \emptyset$ y $Z$ sí es conexo.

Corolario 3

La clausura de un subespacio conexo es conexo.

En otras palabras, si $Z$ se forma añadiéndole a $Y$ alguno o todos ( $\bar{Y}$ ) sus puntos límite, entonces $Z$ es conexo. ↩︎