Proposición 14

Enunciado

Un espacio topológico $X$ es conexo si, y sólo si, los únicos subconjuntos de $X$ abiertos y cerrados a la vez son el vacío y el total^[1].

Demostración

$(⟹)$ Supongamos que $(X,\mathcal{T})$ es conexo y sea $A\subset X$ abierto y cerrado. Entonces $A\cup (X\setminus A)$ es una separación de $X$, pero como $X$ es conexo, o bien $A$ o bien $X\setminus A$ es vacío. Por lo que $A=\varnothing$ o $A=X$.

$(⟸)$ Supongamos que los únicos abiertos y cerrados son el vacío y el total. Sea $X=A\cup B$ una separación por abiertos disjuntos. Entonces $X\setminus A=B$, lo que significa que $A$ es abierto y cerrado y, por hipótesis, $A=\varnothing$ o $A=X$. En cualquier caso, no existe una separación (es trivial) y $X$ es conexo.