Proposición 9

Enunciado

Sea $A \subset X$ . Si existe una sucesión de puntos de $A$ convergente a un punto $x \in X$ , entonces $x \in \bar{A}$ .
Si el espacio $X$ es 1AN, entonces es cierto el recíproco.

Demostración

$(⟹)$ Suponemos que existe una sucesión convergente $(x_{n}) \to x$ , que por definición, implica que $\forall U \in E (x), \exists n_{0} \in N$ tal que $x_{n} \in U \forall n \geq n_{0} .$ En particular, $U \cap A \neq \emptyset$ , y por la proposición 2.5. $x \in \overset{―}{A} .$

$(⟸)$ Suponemos que $(X, T)$ es $1 A N$ . A su vez, suponemos que $x \in \overset{―}{A}$ y sea $B (x) = {B_{1}, B_{2}, \dots, B_{n}}$ una base de entornos encajados de $x$ numerable ^[1]. Por la proposición 2.5., para cada $B_{n} \in B (x)$ existe un $x_{n} \in B_{n} \cap A \neq \emptyset$ . Como consecuencia, podemos tomar la sucesión $(x_{n}) \to x$ , pues dado un $U \in E (x)$ arbitrario, existirá un $B_{n_{0}}$ tal que

B_{n_{0}} \subset U ⟹ x_{n} \in B_{n} \subset B_{n_{0}} \subset U \forall n \geq n_{0} .

Corolario 1

Sea $X$ un espacio $1 A N$ . Un subconjunto $A \subset X$ es cerrado si, y solo si, $A$ contiene los límites de todas las sucesiones convergentes de puntos de $A$ .

Siempre podrá tomarse una base de este estilo cuando el espacio sea $1 A N$ . ↩︎