La topología producto y por cajas

Producto arbitrario de conjuntos

Sea $I$ un conjunto de índices. Además, sea $(X_{i})_{i \in I}$ una familia de conjuntos indexada, teniendo que $X = ⋃_{i \in I} X_{i}$ . El producto cartesiano de esta familia indexada $(X_{i})_{i \in I}$ , denotado por

\prod_{i \in I} X_{i},

se define como el conjunto de todas las funciones $f : I \to X$ , tales que $f (i) \in X_{i} \forall i \in I$ . También se representa como $(x_{i})_{i \in I}$ , donde $x_{i} = f (i)$ es la $i$ -ésima coordenada de $f$ . Si el conjunto índice se sobreentiende, el producto se representará generalmente por $(x_{i})$ .

Las sucesiones y límites son un caso particular de elementos de un producto, en el que todos los $X_{i}$ se tratan del mismo conjunto $X$ , a la vez que $I = N$ .

La topología por cajas

Sea ${(X_{i}), T_{i}}_{i \in I}$ una familia indexada de espacios topológicos. Tomamos como base para una topología sobre el espacio producto $\prod_{i \in I} X_{i}$ , la colección $B$ de todos los conjuntos de la forma
$\prod_{i \in I} U_{i},$
donde $U_{i}$ es un subconjunto abierto de $X_{i}$ . La topología generada $T (B)$ se llama topología por cajas.

Proyección

Una proyección canónica es una función $π_{j} : \prod_{i \in I} X_{i} \to X_{j}$ , que asigna a cada elemento del espacio producto su coordenada $j$ -ésima.

La topología producto (Ejemplo 9)

Sea ${(X_{i}), T_{i}}_{i \in I}$ una familia indexada de espacios topológicos. Denotamos, $\forall j \in I$ , la colección
$S_{j} = {π_{j}^{- 1} (U) : U \in T_{j}}$
de subconjuntos de $\prod_{i \in I} X_{i}$ . Además, tomamos como subbase para una topología sobre ese espacio
$S = ⋃_{i \in I} S_{i} .$
La topología generada $T (B (S))$ se denomina topología producto sobre el espacio producto $\prod_{i \in I} X_{i}$ , y se denota por $T_{p r o d}$ .

Como la base para la topología producto se obtiene como intersección de elementos de $S$ , los elementos básicos tienen la forma $B = \prod_{i \in I} U_{i}$ , donde $U_{i}$ es un abierto de $X_{i}$ que coincide con $X_{i}$ excepto para un número finito de índices^[1].
Tanto la topología por cajas como la topología producto tienen la misma base, excepto por que en la segunda $U_{i} = X_{i}$ menos para un número finito de valores de $i$ .
Cuando $I$ es finito, ambas topologías son la misma, obteniendo los elementos de la base mediante el producto de abiertos.
También es posible tomar abiertos básicos para el número finito de abiertos que no coinciden con el total para obtener una base.
La topología por cajas es más fina que la topología producto.

Esto se debe a que la base se construye como intersección de elementos de la subbase. En muchos casos, la intersección entre dos elementos de $S$ pertenecerá a un mismo conjunto $S_{j}$ , por lo que la intersección no diferirá del conjunto $X_{i}$ . ↩︎